Todo número entero positivo puede representarse de forma única como suma de números de Fibonacci (esto es, elementos de la sucesión de Fibonacci) distintos, de tal forma que dicha representación no contiene dos números de Fibonacci consecutivos.
Esta representación se denomina representación de Zeckendorf del número entero positivo en cuestión.
Una aplicación del teorema es el siguiente juego, que consiste en adivinar cualquier número que el auditorio haya pensado entre 1 y 100. Para ello, una vez que se han puesto de acuerdo, a tus espaldas, en escoger un número, tú les vas presentando una por una estas tarjetas con números "aleatorios".
Y ellos tienen que decir si su número se encuentra en ellas o no. Astútamente estas tarjetas las hemos fabricado de tal forma que comienzan por un número de Fibonacci, que es seguido por todos aquellos, mayores que él, que lo contienen en su representación Zeckendorf.
Por ejemplo, si el número que han pensado es 32 escogerán las siguientes tarjetas:
y nosotros sólo tendremos que sumar los primeros números de cada tarjeta,
Pues la representación de Zeckendorf de 32 es 32=21+8+3
El juego admite una variante que lo hace más divertido, puesto que sabemos que el número a adivinar no puede estar en dos tarjetas consecutivas. Una vez que nos señalen que el número está en una tarjeta sabemos, gracias al teorema de Zeckendorf, que no estará en la siguiente. Esto nos permite escoger entre el auditorio a algunas personas con "derecho a no decir la verdad", a las podremos preguntar justo después de que algún sincero haya señalado una tarjeta en la que aparece el número. Esto dará la apariencia de que nos ponen el juego más difícil al no saber si toda la información es cierta o no.
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